Determine a solução dos P.V.Is:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) envolvendo uma equação diferencial. A equação é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar ela mais fácil de resolver. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Vemos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
. Aqui,
. Para resolver, usamos o método do fator integrante.
Passo 4
Calculamos o fator integrante, que é dado por:
Integrando:
Então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial
:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Resposta
A solução do P.V.I. é:
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Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
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