Determine a solução dos P.V.Is:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) envolvendo uma equação diferencial. A equação é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar ela mais fácil de resolver. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Vemos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma . Aqui, . Para resolver, usamos o método do fator integrante.

Passo 4

Calculamos o fator integrante, que é dado por:
Integrando:
Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial :

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Resposta

A solução do P.V.I. é:

Exercícios relacionados

Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem: