Determine a solução dos P.V.Is: d/dt y = (0,5 + sen t) y/5, y(0) = 1 (R: y^(0,1 t - 0,2 cos t + 0,2))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) envolvendo uma equação diferencial. A equação é com a condição inicial y(0) = 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar ela mais fácil de resolver. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Vemos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma . Aqui, . Para resolver, usamos o método do fator integrante.

Passo 4

Calculamos o fator integrante, que é dado por:
Integrando:
Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Para encontrar C, usamos a condição inicial y(0) = 1:

Passo 7

Agora, resolvemos para y(t):
Simplificando:

Resposta

A solução do P.V.I. é:

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