Determine a solução dos P.V.Is:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é e a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Temos:
Vamos multiplicar ambos os lados por para isolar e :

Passo 3

Agora, integremos os dois lados da equação. A esquerda em relação a e a direita em relação a :
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Passo 5

Substituímos o valor de de volta na equação:
Vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero:

Passo 6

Para resolver essa equação quadrática em , utilizamos a fórmula de Bhaskara. A equação está na forma , onde:
Aplicando a fórmula:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 7

Agora, analisamos qual sinal ( ou ) faz sentido para a solução considerando a condição inicial . Substituindo na expressão:
As soluções seriam ou . Como queremos , escolhemos o sinal positivo.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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