Determine a solução dos P.V.Is:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é
e a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Temos:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
e
:
Passo 3
Agora, integremos os dois lados da equação. A esquerda em relação a
e a direita em relação a
:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Passo 5
Substituímos o valor de
de volta na equação:
Vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero:
Passo 6
Para resolver essa equação quadrática em
, utilizamos a fórmula de Bhaskara. A equação está na forma
, onde:
Aplicando a fórmula:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 7
Agora, analisamos qual sinal (
ou
) faz sentido para a solução considerando a condição inicial
. Substituindo
na expressão:
As soluções seriam
ou
. Como queremos
, escolhemos o sinal positivo.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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