Determine a solução dos P.V.Is:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver uma equação diferencial com condição inicial. A equação é
e a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração. Além disso, precisaremos entender como aplicar condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e as de
do outro. Assim, temos:
Lembrando que
, podemos reorganizar:
Isso nos permite separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Integramos em relação a
do lado esquerdo e em relação a
do lado direito:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Passo 5
Com o valor de
conhecido, nossa solução geral da equação diferencial fica:
Podemos rearranjar para deixar tudo de um lado:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
.
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Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem: