Determine a solução dos P.V.Is:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver uma equação diferencial com condição inicial. A equação é e a condição inicial é . Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração. Além disso, precisaremos entender como aplicar condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as de do outro. Assim, temos:
Lembrando que , podemos reorganizar:
Isso nos permite separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Integramos em relação a do lado esquerdo e em relação a do lado direito:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Passo 5

Com o valor de conhecido, nossa solução geral da equação diferencial fica:
Podemos rearranjar para deixar tudo de um lado:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é .

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Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem: