Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a equação diferencial de segunda ordem
usando redução de ordem. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, especificamente lidando com equações de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como reduzir a ordem da equação e encontrar soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação do tipo Cauchy-Euler, onde assumimos soluções da forma
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 4
Para que a equação seja satisfeita,
. Assim, as soluções são
e
. Portanto, as soluções da equação homogênea são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea
. Como já temos as soluções da equação homogênea, podemos usar o método da variação de parâmetros ou tentar assumir uma forma para a solução particular. Vamos optar por assumir uma solução particular da forma
.
Passo 6
Assumindo
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando:
Passo 7
Para que a igualdade seja válida para todo
, os expoentes devem ser iguais, ou seja,
. Substituindo:
Assim,
, logo
.
Passo 8
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução geral da homogênea com a solução particular encontrada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
e
são constantes de integração.
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