Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem usando a técnica de redução de ordem. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como reduzir a ordem da equação e encontrar uma solução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por . Isso facilita a manipulação:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Vamos chamar . Assim, .
Substituindo na equação:

Passo 4

Essa nova equação é uma equação diferencial de primeira ordem para . Podemos resolver usando o método de integração direta. Reescrevendo:

Passo 5

Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Podemos simplificar exponenciando ambos os lados para resolver para :
Podemos escrever , onde é uma constante arbitrária:
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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