Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
usando a técnica de redução de ordem. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como reduzir a ordem da equação e encontrar uma solução passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
. Isso facilita a manipulação:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Vamos chamar
. Assim,
.
Substituindo na equação:
Passo 4
Essa nova equação é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Podemos resolver usando o método de integração direta. Reescrevendo:
Passo 5
Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Podemos simplificar exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos escrever
, onde
é uma constante arbitrária:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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