Determine a solução dos P.V.Is: y' = (1 + 3 x^2) / (3 y^2 - 6 y), y(0) = 1 (R: y^3 - 3 y^2 - x - x^3 + 2 = 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é . Nosso objetivo é encontrar uma relação que conecta e , que nesse caso é dada por:
Para resolver esse tipo de problema, vamos usar métodos de separação de variáveis e integração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma que todas as partes que envolvem fiquem de um lado e as que envolvem do outro. Isso facilita a integração depois. A equação dada é:
Podemos reescrever como :
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Vamos resolver essas integrais uma a uma.

Passo 4

Começando pela integral do lado esquerdo:
Essa é uma integral polinomial simples. Integramos termo a termo:

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito:
Também é uma integral polinomial:

Passo 6

Após integrar ambos os lados, juntamos os resultados com uma constante de integração :
Agora, precisamos determinar o valor de usando a condição inicial .

Passo 7

Vamos substituir e na equação para encontrar :

Passo 8

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na equação geral:
Podemos rearranjar para deixar tudo igual a zero:

Resposta

A solução do problema valor inicial é:

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