Determine a solução dos P.V.Is:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é
. Nosso objetivo é encontrar uma relação que conecta
e
, que nesse caso é dada por:
Para resolver esse tipo de problema, vamos usar métodos de separação de variáveis e integração. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma que todas as partes que envolvem
fiquem de um lado e as que envolvem
do outro. Isso facilita a integração depois. A equação dada é:
Podemos reescrever
como
:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Vamos resolver essas integrais uma a uma.
Passo 4
Começando pela integral do lado esquerdo:
Essa é uma integral polinomial simples. Integramos termo a termo:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito:
Também é uma integral polinomial:
Passo 6
Após integrar ambos os lados, juntamos os resultados com uma constante de integração
:
Agora, precisamos determinar o valor de
usando a condição inicial
.
Passo 7
Vamos substituir
e
na equação para encontrar
:
Passo 8
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação geral:
Podemos rearranjar para deixar tudo igual a zero:
Resposta
A solução do problema valor inicial é:
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