Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(b) y'' + 4y = cos(2t).

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . Vamos trabalhar com equações diferenciais lineares e procurar uma solução particular usando o método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, olhamos para o lado direito da equação, que é . Para funções trigonométricas como essa, a solução particular pode ser assumida na forma , onde e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos derivar para encontrar :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Simplificando:
Isso mostra que nossa suposição inicial para é solução da equação homogênea, ou seja, precisamos ajustar nossa suposição.

Passo 5

Para contornar isso, multiplicamos nossa suposição por , ficando:
Vamos derivar novamente:
Simplificando:

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos e , descobrimos que e .

Resposta

A solução particular é .

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Mostre que y1 = raiz(t) e y2 = 1/t são soluções da equação diferencial 2 t^2 d²y/dt^2 + 3 t dy/dt - y = 0 no intervalo 0 < t < infinito.
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