Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(b)
.
(b)
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial
. Vamos trabalhar com equações diferenciais lineares e procurar uma solução particular usando o método de coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, olhamos para o lado direito da equação, que é
. Para funções trigonométricas como essa, a solução particular pode ser assumida na forma
, onde
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Isso mostra que nossa suposição inicial para
é solução da equação homogênea, ou seja, precisamos ajustar nossa suposição.
Passo 5
Para contornar isso, multiplicamos nossa suposição por
, ficando:
Vamos derivar novamente:
Simplificando:
Passo 6
Igualando os coeficientes dos termos
e
, descobrimos que
e
.
Resposta
A solução particular é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
e
são soluções da equação diferencial
no intervalo
.
© Mostre que e
formam um conjunto fundamental de soluções da equação dada, no intervalo
.
© Mostre que
Calcule as integrais nos exercícios 13-54.
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(d) .
(d)
Encontre a solução geral, usando o método de variação dos parâmetros para determinar uma particular de:
(d) .
(d)