Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(d) ddot(y) - y = t^2 * e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é: determinar uma solução particular para a equação . Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar para encontrar essa solução. Precisaremos identificar a forma da solução particular baseada no lado direito da equação e garantir que ela não seja uma solução da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação homogênea relacionada, que é . A equação característica associada é , cuja solução é e . Isso significa que as soluções da equação homogênea são e .

Passo 3

Agora, observamos o lado direito da equação não homogênea, que é . Para encontrar uma solução particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. A ideia é supor uma forma para que inclua um polinômio multiplicado por , já que o termo está presente.

Passo 4

No entanto, precisamos verificar se é uma solução da equação homogênea, o que encontramos no Passo 2. Como já é solução homogênea, devemos multiplicar nossa suposição inicial por para evitar duplicidade. Portanto, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde , e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Primeiro, calculamos a primeira derivada :
Simplificando:

Passo 6

Em seguida, calculamos a segunda derivada :
Isso envolve derivar cada termo obtido na expressão de , simplificando passo a passo para encontrar uma expressão completa para .

Passo 7

Depois de encontrar e , substituímos e suas derivadas na equação original :
Isso resultará em uma equação onde os coeficientes de do lado esquerdo devem ser iguais aos coeficientes correspondentes do lado direito.

Passo 8

Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para determinar os valores de , e . Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores que satisfazem a equação original.

Resposta

A solução particular para a equação é:

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