Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é: determinar uma solução particular para a equação
. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar para encontrar essa solução. Precisaremos identificar a forma da solução particular baseada no lado direito da equação e garantir que ela não seja uma solução da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação homogênea relacionada, que é
. A equação característica associada é
, cuja solução é
e
. Isso significa que as soluções da equação homogênea são
e
.
Passo 3
Agora, observamos o lado direito da equação não homogênea, que é
. Para encontrar uma solução particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. A ideia é supor uma forma para
que inclua um polinômio multiplicado por
, já que o termo
está presente.
Passo 4
No entanto, precisamos verificar se
é uma solução da equação homogênea, o que encontramos no Passo 2. Como
já é solução homogênea, devemos multiplicar nossa suposição inicial por
para evitar duplicidade. Portanto, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde
,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Primeiro, calculamos a primeira derivada
:
Simplificando:
Passo 6
Em seguida, calculamos a segunda derivada
:
Isso envolve derivar cada termo obtido na expressão de
, simplificando passo a passo para encontrar uma expressão completa para
.
Passo 7
Depois de encontrar
e
, substituímos
e suas derivadas na equação original
:
Isso resultará em uma equação onde os coeficientes de
do lado esquerdo devem ser iguais aos coeficientes correspondentes do lado direito.
Passo 8
Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para determinar os valores de
,
e
. Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores que satisfazem a equação original.
Resposta
A solução particular para a equação
é: