Encontre a solução geral, usando o método de variação dos parâmetros para determinar uma particular de:
(d) t^2 * d^2y/dt^2 - 2t * dy/dt + 2y = 1/t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. Esse método é uma técnica para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial de Euler, que tem a forma . A solução geral para esse tipo de equação é , onde substituímos na equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Então,
Simplificando:
Fatorando :

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica :
Então, ou . Portanto, as soluções da equação homogênea são e .

Passo 5

A solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos usar o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea .
Assumimos que a solução particular tem a forma:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
No método de variação dos parâmetros, impomos:
çã

Passo 8

Para simplificar os cálculos, utilizamos a condição:
e
íçã
Após substituições e simplificações, obtemos um sistema de equações para e .

Passo 9

Resolvendo o sistema, encontramos:
onde é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Calculando o Wronskiano:

Passo 10

Substituindo nas expressões de e :
Integrando para encontrar e :

Passo 11

Agora, substituímos e na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(d) ddot(y) - y = t^2 * e^t.
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(b) y'' + 4y = cos(2t).
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
© ddot(y) - 4 dot(y) + 6 y = 3 t.
Em cada item abaixo, determine f'(x).
(b) f(x) = 3x - 1.