Encontre a solução geral, usando o método de variação dos parâmetros para determinar uma particular de:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de variação dos parâmetros. Esse método é uma técnica para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial de Euler, que tem a forma
. A solução geral para esse tipo de equação é
, onde substituímos na equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Então,
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica
:
Então,
ou
. Portanto, as soluções da equação homogênea são
e
.
Passo 5
A solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos usar o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular
da equação não homogênea
.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
No método de variação dos parâmetros, impomos:
Passo 8
Para simplificar os cálculos, utilizamos a condição:
e
Após substituições e simplificações, obtemos um sistema de equações para
e
.
Passo 9
Resolvendo o sistema, encontramos:
onde
é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Calculando o Wronskiano:
Passo 10
Substituindo
nas expressões de
e
:
Integrando para encontrar
e
:
Passo 11
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(d) .
(d)
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(b) .
(b)
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
© .
©
Em cada item abaixo, determine
.
(b) .
(b)