Mostre que y1 = raiz(t) e y2 = 1/t são soluções da equação diferencial 2 t^2 d²y/dt^2 + 3 t dy/dt - y = 0 no intervalo 0 < t < infinito.
© Mostre que y1(t) e y2(t) formam um conjunto fundamental de soluções da equação dada, no intervalo 0 < t < infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que as funções e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde a gente procura soluções que possam gerar todas as possíveis soluções da equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um conjunto fundamental de soluções. Basicamente, é um par de soluções que são linearmente independentes, ou seja, uma não pode ser escrita como múltiplo da outra. Se conseguirmos provar isso, garantimos que essas soluções podem combinar para formar qualquer solução da equação diferencial dada.

Passo 3

Para verificar se e são linearmente independentes, vamos usar o Wronskiano. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar a independência linear das soluções. Se o Wronskiano for diferente de zero no intervalo considerado, as soluções são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos calcular o Wronskiano das funções e . O Wronskiano é dado por:
Primeiro, encontramos as derivadas das funções:
Agora, substituímos na fórmula do Wronskiano:

Passo 5

Observamos que o Wronskiano é diferente de zero para todo . Isso significa que as funções e são linearmente independentes no intervalo considerado.

Resposta

Portanto, e formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial no intervalo .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais nos exercícios 13-54.
integral 3 d x(2-x)^2
integral cosec^2 2 theta cotg 2 theta d theta
(b) Usando u=cosec 2 theta
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(b) y'' + 4y = cos(2t).
Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(d) ddot(y) - y = t^2 * e^t.