Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(e) ddot(y) + 2 dot(y) + y = e^(-t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para a gente encontrar uma solução particular para a equação . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica bacana para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação tem uma forma específica, como exponenciais, senos, cossenos, etc.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, escrevemos a equação característica: . Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos as raízes repetidas . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é , onde e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos para a parte da solução particular. Como o lado direito da equação é e^(-t), tentamos uma solução da forma . Porém, percebemos que e^(-t) já está na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por t para encontrar uma solução particular que não traga redundância. Portanto, nossa tentativa inicial será .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de para substituir na equação original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Isso não confere com o lado direito da equação, que é e^(-t). Isso significa que nossa escolha inicial de não é suficiente. Precisamos multiplicar por t novamente devido à multiplicidade da raiz na solução homogênea. Então, tentamos .

Passo 6

Calculando as derivadas para a nova tentativa:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo na equação original:
Simplificando:
Queremos que isso seja igual a e^(-t), então temos:

Resposta

Resolvendo, encontramos . Portanto, a solução particular é:

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integral x^3(x^4-1)^2 d x, u=x^4-1
(a) Mostre que qualquer função da forma
y = A senh(m x) + B cosh(m x)
satisfaz a equação diferencial y'' = m^2 y.
g) (1 - 1/2) / (3/4) + (1/5) / (1 - 4/5)²
integral cosec^2 2 theta cotg 2 theta d theta
(b) Usando u=cosec 2 theta