Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para a gente encontrar uma solução particular para a equação
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica bacana para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação tem uma forma específica, como exponenciais, senos, cossenos, etc.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, escrevemos a equação característica:
. Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos as raízes repetidas
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é
, onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, vamos para a parte da solução particular. Como o lado direito da equação é
, tentamos uma solução da forma
. Porém, percebemos que
já está na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular que não traga redundância. Portanto, nossa tentativa inicial será
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
para substituir na equação original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Isso não confere com o lado direito da equação, que é
. Isso significa que nossa escolha inicial de
não é suficiente. Precisamos multiplicar por
novamente devido à multiplicidade da raiz na solução homogênea. Então, tentamos
.
Passo 6
Calculando as derivadas para a nova tentativa:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Queremos que isso seja igual a
, então temos:
Resposta
Resolvendo, encontramos
. Portanto, a solução particular é:
Exercícios relacionados
(a) Mostre que qualquer função da forma
satisfaz a equação diferencial
.
g)
(b) Usando