integral cosec^2 2 theta cotg 2 theta d theta
(b) Usando u=cosec 2 theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a substituição . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integração por substituição envolvendo funções trigonométricas como cosecante e cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a substituição:
u = cosec 2theta
Isso significa que queremos expressar a integral em termos de para simplificar o cálculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudtheta = ddtheta ( cosec 2theta ) em relação a dudtheta = -2 cotg 2theta cosec 2theta :
du = -2 cotg 2theta cosec 2theta dtheta
Sabemos que a derivada de é . Aplicando a regra da cadeia:
Dessa forma, podemos escrever:

Passo 4

Vamos isolar cotg 2theta cosec 2theta dtheta = -du2 na expressão de integral cosec^2 2theta cotg 2theta dtheta = integral cosec 2theta cdot cosec 2theta cotg 2theta dtheta :
= integral cosec 2theta cdot ( -du2 )
Agora, substituímos na integral original:
= -12 integral cosec 2theta , du
Substituindo:

Passo 5

Lembrando que -12 integral u , du , a integral fica:
-12 cdot u^22 + C
Integrando:
= -u^24 + C

Resposta

-cosec^2 2theta4 + C

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