Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Na forma geral de uma equação diferencial linear:
Aqui, temos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a solução.
Passo 4
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então, podemos reescrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando:
O lado esquerdo simplifica para
. Para integrar o lado direito, usamos a técnica de integração por partes.
Passo 7
Vamos calcular
usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Então:
Passo 8
Voltando à equação integrada:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: