Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas:
y' - y = 2x e^(2x), y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Na forma geral de uma equação diferencial linear:
Aqui, temos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a solução.

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então, podemos reescrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando:
O lado esquerdo simplifica para . Para integrar o lado direito, usamos a técnica de integração por partes.

Passo 7

Vamos calcular usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Então:

Passo 8

Voltando à equação integrada:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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