Em uma população de tamanho , a velocidade de propagação de uma epidemia é diretamente proporcional à quantidade de pessoas já infectadas (possíveis transmissores) e à quantidade de pessoas não infectadas (possíveis receptores). Mostre que se é par, a velocidade de transmissão é máxima quando metade da população está infectada. E se for ímpar?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma população com pessoas. A velocidade de propagação de uma epidemia depende de duas coisas:
  1. Quantas pessoas já estão infectadas (os transmissores).
  2. Quantas pessoas ainda não estão infectadas (os receptores).
Queremos mostrar que, se é um número par, a velocidade de transmissão é máxima quando exatamente a metade da população está infectada. E, se for ímpar, teremos que ver como fica essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a informação do problema para uma fórmula matemática. Diz que a velocidade de propagação ( ) é diretamente proporcional ao número de infectados ( ) e ao número de não infectados ( ).
Isso significa que podemos escrever:
Aqui, é uma constante de proporcionalidade.

Passo 3

Sabemos que o total da população é , então:
Substituindo na equação da velocidade:

Passo 4

Queremos encontrar o valor de que maximiza . Isso significa que precisamos encontrar o valor de que faz ser o maior possível.
Para isso, vamos considerar que é uma constante positiva (já que estamos falando de uma velocidade física). Então, para maximizar , vamos maximizar a parte .

Passo 5

Vamos chamar . Queremos encontrar o valor de que maximiza .
Expandindo a expressão:

Passo 6

Para encontrar o máximo de , podemos usar o cálculo. A ideia é encontrar onde a derivada de em relação a é igual a zero.
Calculando a derivada:

Passo 7

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Resolvendo para :

Passo 8

Achamos que o valor de maximiza a velocidade de propagação. Agora, vamos ver o que isso significa para par e ímpar.
  • Se é par: dividido por 2 resulta em um número inteiro. Ou seja, podemos ter exatamente metade da população infectada.
  • Se é ímpar: dividido por 2 não é inteiro. Nesse caso, não podemos ter exatamente metade da população infectada, mas podemos ter a parte inteira de ou a parte inteira mais um.

Passo 9

Então, para:
  • par: A velocidade de transmissão é máxima quando .
  • ímpar: A velocidade de transmissão é máxima quando ou , já que essas são as partes inteiras mais próximas de .

Resposta

Portanto, a velocidade de transmissão da epidemia é máxima quando metade da população está infectada se for par. Se for ímpar, a velocidade é máxima quando aproximadamente metade da população, arredondando para baixo ou para cima, está infectada.

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