Em uma população de tamanho
, a velocidade de propagação de uma epidemia é diretamente proporcional à quantidade de pessoas já infectadas (possíveis transmissores) e à quantidade de pessoas não infectadas (possíveis receptores). Mostre que se
é par, a velocidade de transmissão é máxima quando metade da população está infectada. E se
for ímpar?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma população com
pessoas. A velocidade de propagação de uma epidemia depende de duas coisas:
- Quantas pessoas já estão infectadas (os transmissores).
- Quantas pessoas ainda não estão infectadas (os receptores).
Queremos mostrar que, se
é um número par, a velocidade de transmissão é máxima quando exatamente a metade da população está infectada. E, se
for ímpar, teremos que ver como fica essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a informação do problema para uma fórmula matemática. Diz que a velocidade de propagação (
) é diretamente proporcional ao número de infectados (
) e ao número de não infectados (
).
Isso significa que podemos escrever:
Aqui,
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
Sabemos que o total da população é
, então:
Substituindo
na equação da velocidade:
Passo 4
Queremos encontrar o valor de
que maximiza
. Isso significa que precisamos encontrar o valor de
que faz
ser o maior possível.
Para isso, vamos considerar que
é uma constante positiva (já que estamos falando de uma velocidade física). Então, para maximizar
, vamos maximizar a parte
.
Passo 5
Vamos chamar
. Queremos encontrar o valor de
que maximiza
.
Expandindo a expressão:
Passo 6
Para encontrar o máximo de
, podemos usar o cálculo. A ideia é encontrar onde a derivada de
em relação a
é igual a zero.
Calculando a derivada:
Passo 7
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Resolvendo para
:
Passo 8
Achamos que o valor de
maximiza a velocidade de propagação. Agora, vamos ver o que isso significa para
par e ímpar.
-
Se
é par: dividido por 2 resulta em um número inteiro. Ou seja, podemos ter exatamente metade da população infectada. -
Se
é ímpar: dividido por 2 não é inteiro. Nesse caso, não podemos ter exatamente metade da população infectada, mas podemos ter a parte inteira de ou a parte inteira mais um.
Passo 9
Então, para:
-
par: A velocidade de transmissão é máxima quando . -
ímpar: A velocidade de transmissão é máxima quando ou , já que essas são as partes inteiras mais próximas de .
Resposta
Portanto, a velocidade de transmissão da epidemia é máxima quando metade da população está infectada se
for par. Se
for ímpar, a velocidade é máxima quando aproximadamente metade da população, arredondando para baixo ou para cima, está infectada.