Em quantos anos 500 gramas de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de ao ano, se reduzir-se-ão a 100 g. Utilize a relação , onde é a massa da substância, é a taxa de decaimento radioativo, é o tempo (em anos) e e é o número de Euler.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre uma substância radioativa que está se desintegrando. A gente começa com 500 gramas dessa substância e quer saber em quantos anos ela vai diminuir para 100 gramas, sabendo que a taxa de decaimento é de 3% ao ano. Pra resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento radioativo: , onde é a massa final, é a massa inicial, é a taxa de decaimento, é o tempo, e é o número de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula . Essa equação nos mostra como a quantidade de uma substância radioativa diminui ao longo do tempo. é a quantidade inicial (no nosso caso, 500 g), é a quantidade que queremos achar depois de um certo tempo, é a taxa de decaimento (3% ao ano, que vamos transformar em decimal), e é o tempo que a gente quer descobrir.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente já conhece na fórmula. Sabemos que g, g, e (já que 3% = 0,03). Então fica assim:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, vamos dividir os dois lados por 500 para isolar o :
Para tirar o , vamos aplicar o logaritmo natural (ln) nos dois lados:
Lembrando que , então:
Agora, isolamos :
Calculando isso:

Resposta

Serão necessários aproximadamente 53,65 anos para que a substância se reduza de 500 g para 100 g.

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a)
b)
c)
d)
(PUC-RS) Seja a função definida por . O elemento do domínio de f que tem como imagem é:
a) 0
b)
c) -3
d)
e)