Em quantos anos 500 gramas de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de
ao ano, se reduzir-se-ão a 100 g. Utilize a relação
, onde
é a massa da substância,
é a taxa de decaimento radioativo,
é o tempo (em anos) e e é o número de Euler.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre uma substância radioativa que está se desintegrando. A gente começa com 500 gramas dessa substância e quer saber em quantos anos ela vai diminuir para 100 gramas, sabendo que a taxa de decaimento é de 3% ao ano. Pra resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento radioativo:
, onde
é a massa final,
é a massa inicial,
é a taxa de decaimento,
é o tempo, e
é o número de Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula
. Essa equação nos mostra como a quantidade de uma substância radioativa diminui ao longo do tempo.
é a quantidade inicial (no nosso caso, 500 g),
é a quantidade que queremos achar depois de um certo tempo,
é a taxa de decaimento (3% ao ano, que vamos transformar em decimal), e
é o tempo que a gente quer descobrir.
Passo 3
Vamos substituir os valores que a gente já conhece na fórmula. Sabemos que
g,
g, e
(já que 3% = 0,03). Então fica assim:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, vamos dividir os dois lados por 500 para isolar o
:
Para tirar o
, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) nos dois lados:
Lembrando que
, então:
Agora, isolamos
:
Calculando isso:
Resposta
Serão necessários aproximadamente 53,65 anos para que a substância se reduza de 500 g para 100 g.