A equação tem raízes inteiras. Qual é o maior valor possível para ?

Passo 1

Estamos olhando para uma equação quadrática da forma que tem raízes inteiras. Nosso objetivo é encontrar o maior valor possível para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de fatoração de polinômios e propriedades das raízes de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação quadrática pode ser fatorada como , onde e são as raízes da equação. Ao expandir essa fatoração, obtemos .

Passo 3

Comparando isso com a nossa equação original , percebemos que:
  • A soma das raízes
  • O produto das raízes

Passo 4

Nosso objetivo é maximizar . Sabendo que , queremos encontrar dois números inteiros que somados dão 9 e cujo produto seja o maior possível.

Passo 5

Para maximizar o produto com a soma fixa, os números e devem ser o mais próximos possível. Como 9 é um número ímpar, os números mais próximos são 4 e 5.

Passo 6

Calculando o produto: . Portanto, o maior valor possível para é 20.

Resposta

O maior valor possível para é 20.

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