Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Aqui, o conteúdo principal envolve soluções de EDOs lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de solução particular, que nos ajuda a encontrar uma solução específica para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação para facilitar nosso trabalho. Observe que:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, usamos a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
Aplicando isso:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, a equação simplificada é:
Para encontrar uma solução particular, assumimos uma forma similar ao lado direito. Já que temos
, tentamos:
Onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes das funções trigonométricas dos dois lados:
Para
:
Para
:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituímos na primeira equaç��o:
E, consequentemente:
Resposta
A solução particular da EDO é:
Exercícios relacionados
Suponha uma sequência
tal que
, para todo
. Mostre que
.
Prove que
.
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
©
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Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista , exercício
)
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista