Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Aqui, o conteúdo principal envolve soluções de EDOs lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de solução particular, que nos ajuda a encontrar uma solução específica para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação para facilitar nosso trabalho. Observe que:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
Aplicando isso:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, a equação simplificada é:
Para encontrar uma solução particular, assumimos uma forma similar ao lado direito. Já que temos , tentamos:
Onde e são constantes a serem determinados.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :

Passo 6

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes das funções trigonométricas dos dois lados:
Para :
Para :

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituímos na primeira equaç��o:
E, consequentemente:

Resposta

A solução particular da EDO é:

Exercícios relacionados

Suponha uma sequência tal que , para todo . Mostre que .
Prove que .
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
©
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista , exercício )