Suponha uma sequência tal que , para todo . Mostre que .

Passo 1

A gente tem uma sequência definida por . O assunto aqui é limites de sequências e manipulação algébrica com raízes. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar e dividir por , que é o conjugado de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite quando tende ao infinito. Tanto quanto aumentam sem limite, mas a diferença entre elas diminui.
Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por :

Passo 4

Sabemos que . Portanto,

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é .

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