Suponha uma sequência (an) tal que an=raizn+h-raizn, para todo h>0. Mostre que lim an=0.

Passo 1

A gente tem uma sequência definida por . O assunto aqui é limites de sequências e manipulação algébrica com raízes. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar e dividir por an = raizn + h - raizn1 times raizn + h + raiznraizn + h + raizn = (n + h) - nraizn + h + raizn = hraizn + h + raizn , que é o conjugado de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite quando an = hraizn ( raiz1 + hn + 1 ) = hraizn cdot ( raiz1 + 0 + 1 ) = h2raizn tende ao infinito. Tanto quanto aumentam sem limite, mas a diferença entre elas diminui.
Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por :

Passo 4

Sabemos que limn to infty an = limn to infty h2raizn = 0 . Portanto,

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é .

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