Suponha uma sequência
tal que
, para todo
. Mostre que
.
Passo 1
A gente tem uma sequência definida por
. O assunto aqui é limites de sequências e manipulação algébrica com raízes. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar e dividir por
, que é o conjugado de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite quando
tende ao infinito. Tanto
quanto
aumentam sem limite, mas a diferença entre elas diminui.
Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por
:
Passo 4
Sabemos que
. Portanto,
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é
.
Exercícios relacionados
Prove que
.
Para quaisquer
, prove que
.
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(b)
(b)
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
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