Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista , exercício )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:

O objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Primeiro, precisamos simplificar o lado direito da equação, escrevendo como uma combinação linear de funções constantes, senos e cossenos.

Passo 2

Vamos começar transformando . Sabemos que podemos usar identidades trigonométricas para simplificar potências de cosseno. A identidade que vamos usar é:

Essa identidade nos ajuda a escrever como uma soma de termos com cossenos de múltiplos de e uma constante.

Passo 3

Agora que temos o lado direito da equação simplificado, nossa equação fica:

Para encontrar a solução particular ( ), vamos propor uma combinação das funções constantes, e com coeficientes a determinar:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de necessárias para substituir na equação original:
Primeira derivada:

Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial:

Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
  • Termo constante:
  • Termo com :
  • Termo com :
  • Termos com senos: (já que o lado direito não tem termos com seno)
Resolvendo as equações:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine uma solução particular para as seguintes EDO
©
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(b)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(a)
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
© As oscilações, em um plano, de um pêndulo de massa (desprezando o atrito com o ar) vem descrita pela equação diferencial não linear:
Considere o caso de pequenas oscilações, para os quais é válida a aproximação . Determine, então, o período dessas oscilações.
Figura exercício 1 c)