Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista
, exercício
)
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Primeiro, precisamos simplificar o lado direito da equação, escrevendo
Passo 2
Vamos começar transformando
. Sabemos que podemos usar identidades trigonométricas para simplificar potências de cosseno. A identidade que vamos usar é:
Essa identidade nos ajuda a escrever
Passo 3
Agora que temos o lado direito da equação simplificado, nossa equação fica:
Para encontrar a solução particular (
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação original:
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
- Termo constante:
- Termo com
: - Termo com
: - Termos com senos:
(já que o lado direito não tem termos com seno)
Resolvendo as equações:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: