Determine uma solução particular para as seguintes EDO
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau que você me enviou:
Aqui, estamos trabalhando com EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar uma solução particular dessa equação, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Isso significa que vamos supor uma forma para a solução particular baseada na expressão do lado direito da equação e depois encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que pode ser escrito de uma forma mais manejável usando identidades trigonométricas. Utilizando a identidade trigonométrica para :
Isso facilita a nossa vida porque agora temos uma combinação de e , e podemos tratar cada termo separadamente ao procurar a solução particular.

Passo 3

Agora, vamos propor uma forma para a solução particular . Como o lado direito é uma combinação de e , nossa suposição para será:
Aqui, , , e são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de necessárias para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Agora, substituímos e suas derivadas na equação diferencial original:
Substituindo as expressões que encontramos:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para :
Para :
Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da segunda equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
Então,
  1. Da quarta equação:
  2. Substituindo na terceira equação:
Então,

Resposta

A solução particular é dada por:

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(d)
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(a)