Determine uma solução particular para as seguintes EDO
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau que você me enviou:
Aqui, estamos trabalhando com EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar uma solução particular dessa equação, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Isso significa que vamos supor uma forma para a solução particular baseada na expressão do lado direito da equação e depois encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que pode ser escrito de uma forma mais manejável usando identidades trigonométricas. Utilizando a identidade trigonométrica para :
Isso facilita a nossa vida porque agora temos uma combinação de e , e podemos tratar cada termo separadamente ao procurar a solução particular.
Passo 3
Agora, vamos propor uma forma para a solução particular
. Como o lado direito é uma combinação de e , nossa suposição para
será:
Aqui,
,
,
e
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação diferencial original:
Substituindo as expressões que encontramos:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados da equação:
Para :
Para
:
Para :
Para
:
Vamos resolver esse sistema de equações:
-
Da segunda equação:
-
Substituindo
na primeira equação:
Então,
-
Da quarta equação:
-
Substituindo
na terceira equação:
Então,
Resposta
A solução particular é dada por:
Exercícios relacionados
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(b)
(b)
Suponha uma sequência
tal que
, para todo
. Mostre que
.
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista , exercício
)
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(a)
(a)