Prove que |a-b| < epsilon => |a| < |b| + epsilon.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aí. A questão pede para provar que se a diferença entre e em valor absoluto é menor que um número positivo , ou seja, , então o valor absoluto de é menor que o valor absoluto de mais , ou seja, . Vamos usar propriedades básicas de valor absoluto e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Desigualdade Triangular, que diz que para quaisquer números reais e , temos:
No nosso caso, vamos manipular a expressão de forma a usar essa desigualdade.

Passo 3

Começamos observando que podemos escrever como . Assim:
Aplicando a Desigualdade Triangular:

Passo 4

Agora, sabemos pela hipótese do problema que . Substituindo isso na desigualdade que obtivemos:
Como é estritamente menor que , podemos afirmar que:

Resposta

Portanto, mostramos que implica que .

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