Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aí. A questão pede para provar que se a diferença entre
e
em valor absoluto é menor que um número positivo
, ou seja,
, então o valor absoluto de
é menor que o valor absoluto de
mais
, ou seja,
. Vamos usar propriedades básicas de valor absoluto e desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Desigualdade Triangular, que diz que para quaisquer números reais
e
, temos:
No nosso caso, vamos manipular a expressão
de forma a usar essa desigualdade.
Passo 3
Começamos observando que podemos escrever
como
. Assim:
Aplicando a Desigualdade Triangular:
Passo 4
Agora, sabemos pela hipótese do problema que
. Substituindo isso na desigualdade que obtivemos:
Como
é estritamente menor que
, podemos afirmar que:
Resposta
Portanto, mostramos que
implica que
.
Exercícios relacionados
Para quaisquer
, prove que
.
Suponha que
onde
é uma sequência de termos positivos, mostre, por definição, que
.
Suponha uma sequência
tal que
, para todo
. Mostre que
.
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(b)
(b)