Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(a) dx1/dt = x1 + x2, dx2/dt = 4*x1 - 2*x2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de eliminação. A gente vai trabalhar com equações que envolvem derivadas, então o assunto aqui é equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma das incógnitas e encontrar as soluções para e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que precisamos resolver:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para conseguir uma equação com apenas uma incógnita.

Passo 3

Vamos começar isolando na primeira equação. Da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação pelo que encontramos:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular a derivada à esquerda:
Simplificando os termos:
Agora, vamos rearranjar para formar uma equação homogênea:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Vamos resolver a equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral para é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas aqui).

Passo 7

Agora, vamos encontrar usando a relação que encontramos anteriormente:
Calculando :
Então:

Resposta

As soluções do sistema são:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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