Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de eliminação. A gente vai trabalhar com equações que envolvem derivadas, então o assunto aqui é equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma das incógnitas e encontrar as soluções para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que precisamos resolver:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para conseguir uma equação com apenas uma incógnita.
Passo 3
Vamos começar isolando
na primeira equação. Da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação pelo que encontramos:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular a derivada à esquerda:
Simplificando os termos:
Agora, vamos rearranjar para formar uma equação homogênea:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Vamos resolver a equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral para
é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas aqui).
Passo 7
Agora, vamos encontrar
usando a relação que encontramos anteriormente:
Calculando
:
Então:
Resposta
As soluções do sistema são:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista , exercício
)
(d)
Sugestão: Utiliza o método dos coeficientes a determinar, mas antes escreva as funções do segundo membro como combinações lineares de uma função constante, senos e cossenos(veja Lista
Determine uma solução particular para as seguintes EDO
©
©
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
© As oscilações, em um plano, de um pêndulo de massa (desprezando o atrito com o ar) vem descrita pela equação diferencial não linear:
© As oscilações, em um plano, de um pêndulo de massa
Considere o caso de pequenas oscilações, para os quais é válida a aproximação
. Determine, então, o período dessas oscilações.
Figura exercício 1 c)
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(d) A figura mostra um carro de massa acoplado a um sistema de amortecimento, formado por uma mola (de constante
) e um amortecedor (de constante
). Além disso, sobre o carro age uma força
dada.
Se , determine
sabendo que em
o carro esta localizado em
e é solto do repouso.
(d) A figura mostra um carro de massa
Se
Figura exercício 1 d)