Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
© As oscilações, em um plano, de um pêndulo de massa m (desprezando o atrito com o ar) vem descrita pela equação diferencial não linear:
θ'' + g/L sen(θ) = 0
Considere o caso de pequenas oscilações, para os quais é válida a aproximação sen(theta) ≈ theta. Determine, então, o período dessas oscilações.
Figura exercício 1 c)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um pêndulo de massa que oscila sem atrito, e a equação que descreve seu movimento é uma equação diferencial não linear:
Nos pedem para considerar pequenas oscilações, onde podemos aproximar por . Vamos precisar usar conceitos de movimentos harmônicos simples para encontrar o período dessas oscilações.

Passo 2

Para pequenas oscilações, onde , a equação diferencial fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve um movimento harmônico simples (MHS).

Passo 3

No movimento harmônico simples, a equação geral é:
Comparando com nossa equação, podemos identificar que:
Portanto, a frequência angular é:

Passo 4

O período de um movimento harmônico simples está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Substituindo que encontramos:

Resposta

O período das oscilações é:

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