Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
© As oscilações, em um plano, de um pêndulo de massa
(desprezando o atrito com o ar) vem descrita pela equação diferencial não linear:
Considere o caso de pequenas oscilações, para os quais é válida a aproximação
. Determine, então, o período dessas oscilações.
Figura exercício 1 c)
© As oscilações, em um plano, de um pêndulo de massa
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um pêndulo de massa
que oscila sem atrito, e a equação que descreve seu movimento é uma equação diferencial não linear:
Nos pedem para considerar pequenas oscilações, onde podemos aproximar
por
. Vamos precisar usar conceitos de movimentos harmônicos simples para encontrar o período dessas oscilações.
Passo 2
Para pequenas oscilações, onde
, a equação diferencial fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve um movimento harmônico simples (MHS).
Passo 3
No movimento harmônico simples, a equação geral é:
Comparando com nossa equação, podemos identificar que:
Portanto, a frequência angular
é:
Passo 4
O período
de um movimento harmônico simples está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Substituindo
que encontramos:
Resposta
O período das oscilações é: