Suponha que o vão de uma porta em construção tem altura normalmente distribuída com média 180 cm e desvio padrão 8 cm .
b) Qual é a altura mínima do vão da porta, para que 5 % das portas mais altas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a altura de aberturas de portas que seguem uma distribuição normal. Isso significa que as alturas estão distribuídas de forma simétrica em torno da média. Aqui, a média é de 180 cm e o desvio padrão é de 8 cm. A gente precisa descobrir qual é a altura mínima que só 5% das portas são mais altas que ela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e percentis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que só 5% das portas são mais altas que essa altura mínima. Isso quer dizer que estamos buscando o percentil 95 da distribuição normal, porque 100% - 5% = 95%. O percentil 95 nos dá o valor abaixo do qual 95% das observações se encontram.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor correspondente ao percentil 95 na distribuição normal padrão (com média 0 e desvio padrão 1). Esse valor é conhecido como z-score e, para o 95º percentil, é aproximadamente 1,645.

Passo 4

Com o z-score em mãos, usamos a fórmula da distribuição normal para encontrar a altura mínima:
Onde:
  • (média)
  • (desvio padrão)
Substituindo os valores:

Resposta

A altura mínima do vão da porta é 193,16 cm.

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