Determine a solução dos P.V.Is: y' = (2 * cos(2 * x)) / (3 + 2 * y), y(0) = -1 (R: y = -3/2 + raiz(sen(2 * x) + 1/4))

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um Problema de Valor Inicial (P.V.I) da seguinte forma:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por e por para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados:
Vamos calcular cada integral:
Para a parte da esquerda:
Para a parte da direita:

Passo 4

Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração (já que é apenas uma constante geral ):

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Queremos resolver para , então reorganizamos a equação:

Passo 7

Essa é uma equação quadrática em . Vamos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Para simplificar, podemos escrever:

Passo 8

Considerando a condição inicial , substituímos :
Para obter , escolhemos o sinal positivo:
Então, a solução que satisfaz a condição inicial é:
Podemos simplificar ainda mais:

Resposta

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