Determine a solução dos P.V.Is:
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um Problema de Valor Inicial (P.V.I) da seguinte forma:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados:
Vamos calcular cada integral:
Para a parte da esquerda:
Para a parte da direita:
Passo 4
Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração (já que
é apenas uma constante geral
):
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Passo 6
Substituindo
de volta na equação:
Queremos resolver para
, então reorganizamos a equação:
Passo 7
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Para simplificar, podemos escrever:
Passo 8
Considerando a condição inicial
, substituímos
:
Para obter
, escolhemos o sinal positivo:
Então, a solução que satisfaz a condição inicial é:
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
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