Encontre a solução geral da equação diferencial dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso faz parte do estudo das equações diferenciais ordinárias, mais especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e para integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação pra separar de . A equação original é:
Multiplicando ambos os lados por e por , temos:
Agora, conseguimos separar as variáveis: tudo que envolve está de um lado e tudo que envolve está do outro.

Passo 3

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A equação ficou:
Vamos calcular cada integral:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Agora, juntamos tudo e simplificamos as constantes. Temos:
Multiplicando todos os termos por 3 para simplificar:
Podemos rearranjar para deixar a solução mais organizada:
Onde é uma constante que engloba .

Resposta

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