Encontre a solução geral da equação diferencial dada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo primeiro grau: . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, onde buscamos encontrar funções que satisfaçam a relação dada. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar :
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, aplicamos o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos separar os termos que envolvem dos que envolvem :
Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por .

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados para encontrar :
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é .

Passo 5

Após integrar, temos:
Onde é a constante de integração. Podemos reorganizar para deixar em função de .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Podemos simplificar a constante para apenas (já que é uma constante arbitrária).

Passo 7

Assim, a solução geral fica:
Ou, de forma equivalente:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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Resolva as integrais abaixo.
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