Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo primeiro grau:
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, onde buscamos encontrar funções que satisfaçam a relação dada. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, aplicamos o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
:
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
.
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados para encontrar
:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
.
Passo 5
Após integrar, temos:
Onde
é a constante de integração. Podemos reorganizar para deixar
em função de
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Podemos simplificar a constante
para apenas
(já que
é uma constante arbitrária).
Passo 7
Assim, a solução geral fica:
Ou, de forma equivalente:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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Resolva as integrais abaixo.
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Determine a solução dos P.V.Is: