Um tanque contem 100 litros de água salgada. É adicionado, neste tanque, água salgada à razão de 5 litros por minuto, com uma concentração de sal de
. Ao mesmo tempo, a mistura deixa o tanque através de um buraco à mesma razão. A mistura do tanque é continuamente agitada, de modo a manter homogênea (isto é, a concentração é a mesma em todo o tanque). Se inicialmente a mistura contém uma concetração de
, determine a concentração num instante futuro.
Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é,
). Represente geometricamente este comportamento.
Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é,
Passo 1
Vamos resolver um problema de mistura onde temos um tanque com 100 litros de água salgada. A água que entra tem uma concentração de sal de
, e sai na mesma taxa de 5 litros por minuto. Inicialmente, a água no tanque tem uma concentração de
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais para determinar como a concentração de sal no tanque muda ao longo do tempo e o que acontece quando o tempo tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
como a quantidade de sal no tanque no tempo
. Sabemos que a quantidade de sal que entra por minuto é:
A quantidade de sal que sai depende da concentração atual no tanque. Se a concentração é
, então a quantidade que sai por minuto é:
Como a concentração
é a quantidade de sal dividida pelo volume total (100 litros), temos:
Passo 3
A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é a diferença entre o que entra e o que sai:
Substituindo
por
:
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial linear:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante é:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Determinar a constante
usando a condição inicial. Inicialmente,
:
Então, a solução é:
Passo 7
Agora, a concentração
é:
Passo 8
Para estudar o comportamento quando
, observamos o termo
. Conforme
cresce,
tende a zero. Portanto:
Isso significa que, após um longo período, a concentração de sal no tanque se estabiliza em
.
Passo 9
Geometricamente, o gráfico da concentração
começa em
e assintoticamente se aproxima de
conforme o tempo aumenta. A curva é exponencialmente crescente, aproximando-se cada vez mais de 2 sem nunca ultrapassá-lo.
Resposta
Após um longo período de tempo, conforme
, a concentração de sal no tanque estabiliza em
.