Um tanque contem 100 litros de água salgada. É adicionado, neste tanque, água salgada à razão de 5 litros por minuto, com uma concentração de sal de 2 g / l. Ao mesmo tempo, a mistura deixa o tanque através de um buraco à mesma razão. A mistura do tanque é continuamente agitada, de modo a manter homogênea (isto é, a concentração é a mesma em todo o tanque). Se inicialmente a mistura contém uma concetração de 1 g / l, determine a concentração num instante futuro.
Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é, t -> infinito ). Represente geometricamente este comportamento.

Passo 1

Vamos resolver um problema de mistura onde temos um tanque com 100 litros de água salgada. A água que entra tem uma concentração de sal de , e sai na mesma taxa de 5 litros por minuto. Inicialmente, a água no tanque tem uma concentração de . Vamos usar conceitos de equações diferenciais para determinar como a concentração de sal no tanque muda ao longo do tempo e o que acontece quando o tempo tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como a quantidade de sal no tanque no tempo . Sabemos que a quantidade de sal que entra por minuto é:
A quantidade de sal que sai depende da concentração atual no tanque. Se a concentração é , então a quantidade que sai por minuto é:
Como a concentração é a quantidade de sal dividida pelo volume total (100 litros), temos:

Passo 3

A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é a diferença entre o que entra e o que sai:
í
Substituindo por :

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial linear:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante. O fator integrante é:
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Determinar a constante usando a condição inicial. Inicialmente, :
Então, a solução é:

Passo 7

Agora, a concentração é:

Passo 8

Para estudar o comportamento quando , observamos o termo . Conforme cresce, tende a zero. Portanto:
Isso significa que, após um longo período, a concentração de sal no tanque se estabiliza em .

Passo 9

Geometricamente, o gráfico da concentração começa em e assintoticamente se aproxima de conforme o tempo aumenta. A curva é exponencialmente crescente, aproximando-se cada vez mais de 2 sem nunca ultrapassá-lo.

Resposta

Após um longo período de tempo, conforme , a concentração de sal no tanque estabiliza em .

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