Encontre as funções para cada intervalo onde se tornam a função modular válida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as funções que descrevem em cada intervalo onde a função modular é válida. Isso envolve entender como as funções de valor absoluto funcionam e identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Para isso, resolvemos as equações:
Resolvendo :
Resolvendo :
Então, os pontos críticos são , e . Esses pontos vão dividir a reta dos números reais em quatro intervalos diferentes.
Passo 3
Agora, vamos listar os intervalos baseados nos pontos críticos:
Em cada um desses intervalos, vamos determinar o sinal das expressões dentro dos valores absolutos e, consequentemente, eliminar os valores absolutos de acordo.
Passo 4
Vamos analisar cada intervalo:
Intervalo :
: Como é negativo e grande em módulo, domina, então .
: , porque .
Então, a função fica:
Intervalo :
: Aqui, ainda é negativo, mas menor em módulo, então precisamos verificar. Por exemplo, em :Geralmente, nesse intervalo.
: , porque .
Então, a função fica:
Intervalo :
: Aqui, é positivo. Vamos verificar :Então, nesse intervalo.