Encontre as funções para cada intervalo onde se tornam a função modular válida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as funções que descrevem em cada intervalo onde a função modular é válida. Isso envolve entender como as funções de valor absoluto funcionam e identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Para isso, resolvemos as equações:
Resolvendo :
Resolvendo :
Então, os pontos críticos são , e . Esses pontos vão dividir a reta dos números reais em quatro intervalos diferentes.

Passo 3

Agora, vamos listar os intervalos baseados nos pontos críticos:
Em cada um desses intervalos, vamos determinar o sinal das expressões dentro dos valores absolutos e, consequentemente, eliminar os valores absolutos de acordo.

Passo 4

Vamos analisar cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • : Como é negativo e grande em módulo, domina, então .
    • : , porque .
    Então, a função fica:
  2. Intervalo :
    • : Aqui, ainda é negativo, mas menor em módulo, então precisamos verificar. Por exemplo, em : Geralmente, nesse intervalo.
    • : , porque .
    Então, a função fica:
  3. Intervalo :
    • : Aqui, é positivo. Vamos verificar : Então, nesse intervalo.
    • : , já que .
    Então, a função fica:
  4. Intervalo :
    • : Aqui, para , (por exemplo, :
    • : .
    Então, a função fica:

Resposta

Assim, as funções para cada intervalo são:

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Sabendo que e , encontre:
Encontre a inversa das função