Um tanque contém 100 galões (cerca de 455 litros) de água e 50 onças (cerca de
de sal. Água comtendo uma concentração de sal de
sent
oz/gal entra no taque a uma taxa de 2 galões por minuto e a mistura no tanque sai a mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. (R:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado trata de um problema de mistura, onde temos um tanque com água e sal. A ideia é descobrir quanto sal tem no tanque em qualquer momento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a misturas contínuas. Precisaremos definir as variáveis envolvidas, montar uma equação que descreva a variação do sal no tanque ao longo do tempo e resolver essa equação para encontrar a quantidade de sal em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
- Seja
a quantidade de sal no tanque em onças no instante (em minutos).
Agora, vamos analisar as entradas e saídas de sal no tanque:
-
Entrada: Água entra no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto, com concentração de sal de
oz/gal. Vamos simplificar essa concentração: Então, a taxa de entrada de sal é: -
Saída: A mistura sai do tanque também a 2 galões por minuto. A concentração de sal na saída depende da quantidade de sal no tanque no momento
, que é oz em 100 galões. Portanto, a concentração de saída é oz/gal, e a taxa de saída de sal é:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação que descreve a variação de
:
A taxa de variação do sal no tanque é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver para encontrar
.
Passo 4
Para resolver a equação diferencial:
Vamos encontrar o fator integrante, que é
.
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante
. Inicialmente, o tanque tem 50 oz de sal:
Portanto, a solução geral é:
Passo 7
Para expressar a solução de forma mais detalhada, podemos decompor a solução usando funções trigonométricas, dependendo das condições do problema (por exemplo, se houver oscilação no sistema). Contudo, com base na solução básica, nossa resposta final fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a solução dos P.V.Is:
Indique de que forma deve-se procurar uma solução particular das equações diferenciais, sem, contudo, determinar os coeficientes:
Encontre as funções para cada intervalo onde se tornam a função modular
válida.
Sabendo que
e
, encontre: