Resolva a equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação diferencial aqui: . Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a função . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos entender um pouco sobre soluções gerais, equações homogêneas e soluções particulares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que é uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo , e é a primeira derivada.

Passo 3

Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral desse tipo de equação é:
No nosso caso, comparando com a forma geral:
Mas olha só, na nossa equação original temos um termo constante sem multiplicar , então na verdade a equação é não homogênea:

Passo 4

Para resolver, vamos separar a equação em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Equação Homogênea:
Vamos resolver essa parte primeiro.

Passo 5

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução do tipo exponencial:
Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando (que nunca é zero):
Resolvendo a equação característica:

Passo 6

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o termo constante sugere que a solução particular também possa ser uma constante. Vamos supor:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 8

Derivando :
Substituindo na equação completa:
Ops! Isso não funciona. Como nosso palpite falhou, precisamos tentar outro método. Como o termo constante não é uma solução da equação homogênea, vamos tentar uma solução particular que também seja constante, mas ajustando nosso palpite.
Na verdade, já que tentamos e não funcionou, precisamos multiplicar por . Vamos tentar:

Passo 9

Derivando :
Substituindo na equação completa:
Portanto, a solução particular é:

Passo 10

Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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Resolva a equação.
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