Resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação diferencial aqui:
. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar a função
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos entender um pouco sobre soluções gerais, equações homogêneas e soluções particulares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que é uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral desse tipo de equação é:
No nosso caso, comparando com a forma geral:
Mas olha só, na nossa equação original temos um termo constante
sem multiplicar
, então na verdade a equação é não homogênea:
Passo 4
Para resolver, vamos separar a equação em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Equação Homogênea:
Vamos resolver essa parte primeiro.
Passo 5
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução do tipo exponencial:
Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando
(que nunca é zero):
Resolvendo a equação característica:
Passo 6
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Observamos que o termo constante
sugere que a solução particular também possa ser uma constante. Vamos supor:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 8
Derivando
:
Substituindo na equação completa:
Ops! Isso não funciona. Como nosso palpite falhou, precisamos tentar outro método. Como o termo constante não é uma solução da equação homogênea, vamos tentar uma solução particular que também seja constante, mas ajustando nosso palpite.
Na verdade, já que tentamos
e não funcionou, precisamos multiplicar por
. Vamos tentar:
Passo 9
Derivando
:
Substituindo na equação completa:
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por
. Determine a posição
, da partícula no instante
discuta o movimento, supondo
e
Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Resolva a equação.
Determine a solução do problema.