Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força elástica -x i e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por -2 x i. Determine a posição de x = x(t), t ≥ 0, da partícula no instante t e discuta o movimento, supondo que: x(0) = 1 e \dot{x}(0) = -2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa que se move ao longo do eixo x. Ela está sujeita a duas forças:
  1. Força elástica: -x i, que é uma força restauradora proporcional ao deslocamento, típica de um sistema oscilatório como uma mola.
  2. Força de amortecimento: , que depende da velocidade da partícula e tende a reduzir o movimento ao longo do tempo.
O que precisamos fazer é encontrar a posição x(t) da partícula em qualquer instante de tempo t ≥ 0, dado que no instante inicial ( ) a posição é e a velocidade é .

Passo 2

Primeiro, vamos usar as leis de Newton para montar a equação do movimento. Segundo a segunda lei de Newton:
Onde:
  • m é a massa,
  • é a aceleração,
  • F é a força total atuante.
Substituindo os dados fornecidos:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
Assumimos uma solução da forma , onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Fatorando (que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , .
Calculando o discriminante:
Como , temos uma raiz dupla:

Passo 5

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:
Então, .
Segunda condição: .
Primeiro, encontramos a derivada de x(t):
Agora, substituímos :
Então,

Resposta

A posição da partícula no instante t é dada por:
Esse movimento é conhecido como oscilações amortecidas. A presença do termo e^(-t) indica que a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo, ou seja, a partícula retorna ao equilíbrio de forma gradual sem oscilações permanentes.

Exercícios relacionados