Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por
. Determine a posição de
, da partícula no instante
e discuta o movimento, supondo que:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que se move ao longo do eixo
. Ela está sujeita a duas forças:
- Força elástica:
, que é uma força restauradora proporcional ao deslocamento, típica de um sistema oscilatório como uma mola. - Força de amortecimento:
, que depende da velocidade da partícula e tende a reduzir o movimento ao longo do tempo.
O que precisamos fazer é encontrar a posição
da partícula em qualquer instante de tempo
, dado que no instante inicial (
) a posição é
e a velocidade é
.
Passo 2
Primeiro, vamos usar as leis de Newton para montar a equação do movimento. Segundo a segunda lei de Newton:
Onde:
-
é a massa, -
é a aceleração, -
é a força total atuante.
Substituindo os dados fornecidos:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
Assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Fatorando
(que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
,
.
Calculando o discriminante:
Como
, temos uma raiz dupla:
Passo 5
Com uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
na solução geral:
Então,
.
Segunda condição:
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Agora, substituímos
:
Então,
Resposta
A posição da partícula no instante
é dada por:
Esse movimento é conhecido como oscilações amortecidas. A presença do termo
indica que a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo, ou seja, a partícula retorna ao equilíbrio de forma gradual sem oscilações permanentes.
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Derive.
Determine a solução do problema:
e
,
Derive.
Resolva a equação
e
:
,