Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. Basicamente, precisamos encontrar a função que satisfaz a equação dada e passa pelo ponto especificado. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais, como separação de variáveis e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
E a condição inicial é . Isso significa que quando , .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar em função de . Para facilitar, vamos rearranjar a equação:
Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Reescrevendo, temos:

Passo 5

Vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, identificamos e :
Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar pois será absorvida na constante geral da solução.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
Podemos escrever isso como:
Onde é uma constante.

Passo 9

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que quando , . Substituindo na equação:

Passo 10

Finalmente, substituímos de volta na equação geral:
Para encontrar em função de , isolamos :
Então,

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é:

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Suponha que o movimento de uma partícula no eixo seja regido pela equação
Mostre que a relação entre e , é dada por uma curva fechada.
Quais das equações abaixo são autônomas de segunda ordem? .
(a)
(b)
©
Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade , sendo o coeficiente de natalidade e o de mortalidade. Desse modo, a variação da população é regida pela equação diferencial linear
Suponha que a população no instante seja .
Sendo , determine a população no instante .
Determine a solução do problema.