Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. Basicamente, precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação dada e passa pelo ponto especificado. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais, como separação de variáveis e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
E a condição inicial é
. Isso significa que quando
,
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
em função de
. Para facilitar, vamos rearranjar a equação:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar os termos para deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
Reescrevendo, temos:
Passo 5
Vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, identificamos
e
:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos ignorar
pois será absorvida na constante geral da solução.
Passo 8
Portanto, a função potencial
é:
Podemos escrever isso como:
Onde
é uma constante.
Passo 9
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
. Substituindo na equação:
Passo 10
Finalmente, substituímos
de volta na equação geral:
Para encontrar
em função de
, isolamos
:
Então,
Resposta
A solução que satisfaz a condição inicial é:
Exercícios relacionados
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Mostre que a relação entre
e
, é dada por uma curva fechada.
Quais das equações abaixo são autônomas de segunda ordem? .
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante
seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade , sendo
o coeficiente de natalidade e
o de mortalidade. Desse modo, a variação da população
é regida pela equação diferencial linear
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
Suponha que a população no instante
seja
.
Sendo , determine a população no instante
.
Sendo
Determine a solução do problema.