Determine a solução do problema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. Vamos usar os métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais clara:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos
por
e
por
:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Então, as soluções para
são:
Passo 5
Com os valores de
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Passo 6
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Passo 7
Em seguida, derivamos
para encontrar
:
Agora, aplicamos a condição
:
Passo 8
Com
, voltamos à equação
:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Determine as fórmulas para
. $f(x)=\sqrt{x-3}, g(x)=\sqrt{x^{2}
Os gráficos de
e
são dados. Para quais valores de
é
?
Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por
. Determine a posição
, da partícula no instante
discuta o movimento, supondo
e