Determine a solução do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Vamos usar os métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais clara:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo, e é a primeira derivada.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada. Substituímos por e por :

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Então, as soluções para são:

Passo 5

Com os valores de , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Passo 6

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, aplicamos :

Passo 7

Em seguida, derivamos para encontrar :
Agora, aplicamos a condição :

Passo 8

Com , voltamos à equação :

Resposta

A solução do problema é:

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