Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Isso está no tópico de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e depois ajustar com as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, a gente forma a chamada equação característica. Substituímos por e por , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de :
Então, os valores de são e .

Passo 4

Com os valores de encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar :
Agora, substituindo :

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é:

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