Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. Isso está no tópico de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e depois ajustar com as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, a gente forma a chamada equação característica. Substituímos
por
e
por
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
para encontrar os valores de
:
Então, os valores de
são
e
.
Passo 4
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, substituindo
:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação,
.
Substituindo na primeira equação:
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é:
Exercícios relacionados
Determine a solução do problema.
Determine as fórmulas para
. $f(x)=\sqrt{x-3}, g(x)=\sqrt{x^{2}
Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por
. Determine a posição
, da partícula no instante
discuta o movimento, supondo
e
Resolva a equação.