Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação da força elástica
de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por
. Determine a posição
, da partícula no instante
discuta o movimento, supondo
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa
que se move no eixo
sob duas forças: uma força elástica
(que puxa de volta para a origem) e uma força de amortecimento proporcional à velocidade, que é
. Nosso objetivo é encontrar a posição
da partícula no instante
, sabendo que inicialmente
e a velocidade inicial é
. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação do movimento usando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração (
). Aqui, a força resultante é a soma das duas forças que atuam na partícula:
Como
, a equação fica:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Só temos uma raiz real repetida:
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes reais e repetidas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a condição inicial
:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
para encontrar
e aplicar a condição
:
Aplicando
:
Passo 7
Agora que temos
e
, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A posição da partícula no instante
é dada por:
Esse movimento mostra que a partícula realiza um movimento amortecido. Como a solução envolve um termo linear
multiplicado por uma exponencial decrescente
, a amplitude do movimento diminui com o tempo, e a posição tende a zero à medida que
aumenta. Além disso, como não há termos oscilatórios (como seno ou cosseno) na solução, o movimento não é oscilatório, mas sim um retorno amortecido para a posição de equilíbrio.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Determine a solução do problema.
Resolva a equação.
Resolva a equação.