Uma partícula de massa desloca-se sobre o eixo sob a ação da força elástica de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por . Determine a posição , da partícula no instante discuta o movimento, supondo e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa que se move no eixo sob duas forças: uma força elástica (que puxa de volta para a origem) e uma força de amortecimento proporcional à velocidade, que é . Nosso objetivo é encontrar a posição da partícula no instante , sabendo que inicialmente e a velocidade inicial é . Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação do movimento usando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( ). Aqui, a força resultante é a soma das duas forças que atuam na partícula:
Como , a equação fica:

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Só temos uma raiz real repetida: .

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes reais e repetidas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos derivar para encontrar e aplicar a condição :
Aplicando :

Passo 7

Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A posição da partícula no instante é dada por:
Esse movimento mostra que a partícula realiza um movimento amortecido. Como a solução envolve um termo linear multiplicado por uma exponencial decrescente , a amplitude do movimento diminui com o tempo, e a posição tende a zero à medida que aumenta. Além disso, como não há termos oscilatórios (como seno ou cosseno) na solução, o movimento não é oscilatório, mas sim um retorno amortecido para a posição de equilíbrio.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Determine a solução do problema.
Resolva a equação.
Resolva a equação.