Determine uma solução para o problema
onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como uma certa quantidade varia no tempo e no espaço . A equação é a seguinte:
Isso é conhecido como Equação das Ondas. Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação dentro do intervalo de espaço e para todo tempo , além de obedecer às condições de contorno e iniciais dadas. Para resolver isso, vamos usar separação de variáveis e série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que deve satisfazer:
  1. Condições de Contorno:
    Isso significa que nas extremidades do intervalo e , a função é sempre zero para qualquer tempo .
  2. Condições Iniciais:
    • , onde é uma função definida por partes:
    • , ou seja, a velocidade inicial é zero.

Passo 3

Agora, vamos assumir uma solução que pode ser separada em funções de e :
Substituindo na equação das ondas:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  2. Para :
As soluções para que satisfazem as condições de contorno são funções seno:
Onde é um número inteiro positivo, e .

Passo 5

Com definida, a solução para fica:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 6

Então, a solução geral da equação das ondas é uma superposição de todas as soluções separadas:

Passo 7

Vamos aplicar agora as condições iniciais para determinar e :
  1. Condição Inicial de Deslocamento:
    Isso implica que:
  2. Condição Inicial de Velocidade:
    Para que isso seja verdadeiro para todo , precisamos que para todos os .

Passo 8

Agora, temos que calcular os coeficientes :
Essas integrais podem ser resolvidas utilizando técnicas de integração por partes.

Resposta

Então, juntando tudo, a solução para o problema dado é:
Onde é a função definida por partes:
Essa série representa a solução completa do problema, considerando as condições de contorno e iniciais especificadas.

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