Determine uma solução para o problema
l ut t=4 ux x em R=(x, t) in R^2 mid x in(0,30) e t>0 u(0, t)=u(30, t)=0 para todo t>0 u(x, 0)=f(x) para todo x in[0,30] ut(x, 0)=0 para todo x in[0,30]
onde
f(x)=l x / 10 se x in[0,10] (30-x) / 20 se x in(10,30]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como uma certa quantidade utt = 4 uxx varia no tempo e no espaço . A equação é a seguinte:
Isso é conhecido como Equação das Ondas. Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação dentro do intervalo de espaço e para todo tempo , além de obedecer às condições de contorno e iniciais dadas. Para resolver isso, vamos usar separação de variáveis e série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que f(x) = x10 & se x in [0,10] 30 - x20 & se x in (10,30] deve satisfazer:
  1. Condições de Contorno:
    Isso significa que nas extremidades do intervalo e , a função é sempre zero para qualquer tempo .
  2. Condições Iniciais:
    • , onde é uma função definida por partes:
    • , ou seja, a velocidade inicial é zero.

Passo 3

Agora, vamos assumir uma solução que pode ser separada em funções de u(x, t) = X(x) T(t) e X(x) T''(t) = 4 X''(x) T(t) :
T''(t)4 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo na equação das ondas:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
    T''(t) + 4lambda T(t) = 0
  2. Para Xn(x) = sin(npi x30) :
As soluções para que satisfazem as condições de contorno são funções seno:
Onde é um número inteiro positivo, e .

Passo 5

Com Tn(t) = An cos(npi t15) + Bn sin(npi t15) definida, a solução para fica:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 6

Então, a solução geral da equação das ondas é uma superposição de todas as soluções separadas:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi t15) + Bn sin(npi t15) ] sin(npi x30)

Passo 7

Vamos aplicar agora as condições iniciais para determinar u(x, 0) = f(x) = sumn=1^infty An sin(npi x30) e An = 230 integral0^30 f(x) sin(npi x30) dx = 115 integral0^30 f(x) sin(npi x30) dx :
  1. Condição Inicial de Deslocamento:
    ut(x, 0) = 0 = sumn=1^infty npi15 Bn sin(npi x30)
    Isso implica que:
  2. Condição Inicial de Velocidade:
    Para que isso seja verdadeiro para todo , precisamos que para todos os .

Passo 8

Agora, temos que calcular os coeficientes An = 115 [ integral0^10 x10 sin(npi x30) dx + integral10^30 30 - x20 sin(npi x30) dx ] :
Essas integrais podem ser resolvidas utilizando técnicas de integração por partes.

Resposta

Então, juntando tudo, a solução para o problema dado é:
u(x, t) = sumn=1^infty [ ( 115 integral0^30 f(x) sin(npi x30) dx ) cos(npi t15) ] sin(npi x30)
Onde f(x) = x10 & se x in [0,10] 30 - x20 & se x in (10,30] é a função definida por partes:
Essa série representa a solução completa do problema, considerando as condições de contorno e iniciais especificadas.

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