Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como uma certa quantidade varia no tempo e no espaço . A equação é a seguinte:
Isso é conhecido como Equação das Ondas. Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação dentro do intervalo de espaço e para todo tempo , além de obedecer às condições de contorno e iniciais dadas. Para resolver isso, vamos usar separação de variáveis e série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que deve satisfazer:
Condições de Contorno:
Isso significa que nas extremidades do intervalo e , a função é sempre zero para qualquer tempo .
Condições Iniciais:
, onde é uma função definida por partes:
, ou seja, a velocidade inicial é zero.
Passo 3
Agora, vamos assumir uma solução que pode ser separada em funções de e :
Substituindo na equação das ondas:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 4
Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
Para :
Para :
As soluções para que satisfazem as condições de contorno são funções seno:
Onde é um número inteiro positivo, e .
Passo 5
Com definida, a solução para fica:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 6
Então, a solução geral da equação das ondas é uma superposição de todas as soluções separadas:
Passo 7
Vamos aplicar agora as condições iniciais para determinar e :
Condição Inicial de Deslocamento:
Isso implica que:
Condição Inicial de Velocidade:
Para que isso seja verdadeiro para todo , precisamos que para todos os .
Passo 8
Agora, temos que calcular os coeficientes :
Essas integrais podem ser resolvidas utilizando técnicas de integração por partes.
Resposta
Então, juntando tudo, a solução para o problema dado é:
Onde é a função definida por partes:
Essa série representa a solução completa do problema, considerando as condições de contorno e iniciais especificadas.