f(x)=l x / 10 se x in[0,10] (30-x) / 20 se x in(10,30]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como uma certa quantidade utt = 4 uxx varia no tempo e no espaço . A equação é a seguinte:
Isso é conhecido como Equação das Ondas. Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação dentro do intervalo de espaço e para todo tempo , além de obedecer às condições de contorno e iniciais dadas. Para resolver isso, vamos usar separação de variáveis e série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que f(x) = x10 & se x in [0,10] 30 - x20 & se x in (10,30] deve satisfazer:
Condições de Contorno:
Isso significa que nas extremidades do intervalo e , a função é sempre zero para qualquer tempo .
Condições Iniciais:
, onde é uma função definida por partes:
, ou seja, a velocidade inicial é zero.
Passo 3
Agora, vamos assumir uma solução que pode ser separada em funções de u(x, t) = X(x) T(t) e X(x) T''(t) = 4 X''(x) T(t) :
T''(t)4 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo na equação das ondas:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 4
Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + 4lambda T(t) = 0
Para Xn(x) = sin(npi x30) :
As soluções para que satisfazem as condições de contorno são funções seno:
Onde é um número inteiro positivo, e .
Passo 5
Com Tn(t) = An cos(npi t15) + Bn sin(npi t15) definida, a solução para fica:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 6
Então, a solução geral da equação das ondas é uma superposição de todas as soluções separadas: