Problema - Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequâncias.
forall epsilon>0, exists N: k>N Rightarrow|ak-L|
Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
24) Prove que o limite de uma sequência é único. Esta propriedade chama-se unicidade dos limites das sequências. Isto é, se lim ak=L1 e lim ak=L2, então, necessariamente L1=L2. Dica: escreva a definição para L1 com N1 e epsilon1. Faça o mesmo para L2 ldots Tome N=max N1, N 2 e epsilon1=epsilon2=epsilon, já que sua escolha é arbitrária e construa o argumento…

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre limites de sequências, especificamente a propriedade que diz que o limite de uma sequência é único. Ou seja, se uma sequência tem dois limites diferentes, isso não pode acontecer; os limites têm que ser iguais. Para provar isso, vamos usar a definição de limite de uma sequência, que envolve o uso de epsilon e N. A gente vai precisar lembrar dessa definição e aplicar ela para mostrar que, se assumirmos que existem dois limites diferentes, chegaremos a uma contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a definição de limite para os dois limites que estamos assumindo. Suponha que lim ak = L1 e lim ak = L2. Segundo a definição de limite:
Para qualquer epsilon > 0, existe um número N1 tal que, para todo k > N1, temos:
|ak - L1| < epsilon
E também, para o mesmo epsilon > 0, existe um número N2 tal que, para todo k > N2, temos:
|ak - L2| < epsilon

Passo 3

Agora, vamos escolher um N que seja o maior entre N1 e N2. Ou seja:
N = maxN1, N2
Dessa forma, para todo k > N, as duas desigualdades acima são verdadeiras simultaneamente:
|ak - L1| < epsilon e |ak - L2| < epsilon

Passo 4

Vamos usar a desigualdade triangular para relacionar L1 e L2. Considerando as duas desigualdades acima:
|L1 - L2| = |L1 - ak + ak - L2| <= |L1 - ak| + |ak - L2|
Substituindo pelas desigualdades que temos:
|L1 - L2| < epsilon + epsilon = 2epsilon

Passo 5

Agora, como epsilon é arbitrário, podemos escolher epsilon muito pequeno. Se fizermos epsilon to 0, então:
|L1 - L2| < 2epsilon e epsilon to 0 implies |L1 - L2| = 0
O que significa que:
L1 = L2

Resposta

Portanto, mostramos que se uma sequência tem dois limites diferentes, eles devem ser iguais. Assim, o limite de uma sequência é único.

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