Problema - Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequâncias.
Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
24) Prove que o limite de uma sequência é único. Esta propriedade chama-se unicidade dos limites das sequências. Isto é, se
e
, então, necessariamente
. Dica: escreva a definição para
com
e
. Faça o mesmo para
Tome
e
, já que sua escolha é arbitrária e construa o argumento…
24) Prove que o limite de uma sequência é único. Esta propriedade chama-se unicidade dos limites das sequências. Isto é, se
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre limites de sequências, especificamente a propriedade que diz que o limite de uma sequência é único. Ou seja, se uma sequência tem dois limites diferentes, isso não pode acontecer; os limites têm que ser iguais. Para provar isso, vamos usar a definição de limite de uma sequência, que envolve o uso de
e
. A gente vai precisar lembrar dessa definição e aplicar ela para mostrar que, se assumirmos que existem dois limites diferentes, chegaremos a uma contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a definição de limite para os dois limites que estamos assumindo. Suponha que
e
. Segundo a definição de limite:
Para qualquer
, existe um número
tal que, para todo
, temos:
E também, para o mesmo
, existe um número
tal que, para todo
, temos:
Passo 3
Agora, vamos escolher um
que seja o maior entre
e
. Ou seja:
Dessa forma, para todo
, as duas desigualdades acima são verdadeiras simultaneamente:
Passo 4
Vamos usar a desigualdade triangular para relacionar
e
. Considerando as duas desigualdades acima:
Substituindo pelas desigualdades que temos:
Passo 5
Agora, como
é arbitrário, podemos escolher
muito pequeno. Se fizermos
, então:
O que significa que:
Resposta
Portanto, mostramos que se uma sequência tem dois limites diferentes, eles devem ser iguais. Assim, o limite de uma sequência é único.
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8) .
8)
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7) .
7)
Na figura, temos uma sucessão de quadrados inscritos em outros que são obtidos a partir de um primeiro quadrado de lado
. Assim, ao se ligar os pontos médios de seus lados adjacentes, obtemos um quadrado imediatemante menor. A considerar que este processo siga infinitamente,
encontre a soma das áreas dos infinitos quadrados em função de ,
encontre a soma das áreas dos infinitos quadrados em função de
Determine uma solução para o problema
onde