Problema - Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequâncias.
Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
24) Prove que o limite de uma sequência é único. Esta propriedade chama-se unicidade dos limites das sequências. Isto é, se e , então, necessariamente . Dica: escreva a definição para com e . Faça o mesmo para Tome e , já que sua escolha é arbitrária e construa o argumento…

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre limites de sequências, especificamente a propriedade que diz que o limite de uma sequência é único. Ou seja, se uma sequência tem dois limites diferentes, isso não pode acontecer; os limites têm que ser iguais. Para provar isso, vamos usar a definição de limite de uma sequência, que envolve o uso de e . A gente vai precisar lembrar dessa definição e aplicar ela para mostrar que, se assumirmos que existem dois limites diferentes, chegaremos a uma contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a definição de limite para os dois limites que estamos assumindo. Suponha que e . Segundo a definição de limite:
Para qualquer , existe um número tal que, para todo , temos:
E também, para o mesmo , existe um número tal que, para todo , temos:

Passo 3

Agora, vamos escolher um que seja o maior entre e . Ou seja:
Dessa forma, para todo , as duas desigualdades acima são verdadeiras simultaneamente:

Passo 4

Vamos usar a desigualdade triangular para relacionar e . Considerando as duas desigualdades acima:
Substituindo pelas desigualdades que temos:

Passo 5

Agora, como é arbitrário, podemos escolher muito pequeno. Se fizermos , então:
O que significa que:

Resposta

Portanto, mostramos que se uma sequência tem dois limites diferentes, eles devem ser iguais. Assim, o limite de uma sequência é único.

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8) .
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7) .
Na figura, temos uma sucessão de quadrados inscritos em outros que são obtidos a partir de um primeiro quadrado de lado . Assim, ao se ligar os pontos médios de seus lados adjacentes, obtemos um quadrado imediatemante menor. A considerar que este processo siga infinitamente,
encontre a soma das áreas dos infinitos quadrados em função de ,
Determine uma solução para o problema
onde