Na figura, temos uma sucessão de quadrados inscritos em outros que são obtidos a partir de um primeiro quadrado de lado . Assim, ao se ligar os pontos médios de seus lados adjacentes, obtemos um quadrado imediatemante menor. A considerar que este processo siga infinitamente,
encontre a soma das áreas dos infinitos quadrados em função de ,

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência de quadrados onde cada quadrado menor é formado ligando os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Começamos com um quadrado de lado e esse processo continua infinitamente. Nosso objetivo aqui é descobrir a soma das áreas de todos esses quadrados em função de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e progressões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do primeiro quadrado. Como o lado é , a área é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a relação entre os lados de um quadrado e o próximo na sequência. Quando ligamos os pontos médios de um quadrado, o novo quadrado formado tem um lado menor. Geometricamente, o lado do quadrado menor é igual ao lado do quadrado maior dividido pela raiz quadrada de 2:

Passo 4

Com isso, a área do segundo quadrado será:

Passo 5

Perceba que cada área subsequente é a metade da área anterior. Isso forma uma progressão geométrica onde cada termo é multiplicado por . A sequência das áreas fica assim:

Passo 6

Para encontrar a soma das áreas de todos os quadrados infinitos, usamos a soma de uma progressão geométrica infinita. A fórmula para a soma é:
onde é a razão da progressão. Aqui, .

Passo 7

Aplicando os valores na fórmula:

Resposta

A soma das áreas dos infinitos quadrados é .

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onde
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