Na figura, temos uma sucessão de quadrados inscritos em outros que são obtidos a partir de um primeiro quadrado de lado
. Assim, ao se ligar os pontos médios de seus lados adjacentes, obtemos um quadrado imediatemante menor. A considerar que este processo siga infinitamente,
encontre a soma das áreas dos infinitos quadrados em função de
,
encontre a soma das áreas dos infinitos quadrados em função de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência de quadrados onde cada quadrado menor é formado ligando os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Começamos com um quadrado de lado
e esse processo continua infinitamente. Nosso objetivo aqui é descobrir a soma das áreas de todos esses quadrados em função de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e progressões geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do primeiro quadrado. Como o lado é
, a área é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a relação entre os lados de um quadrado e o próximo na sequência. Quando ligamos os pontos médios de um quadrado, o novo quadrado formado tem um lado menor. Geometricamente, o lado do quadrado menor é igual ao lado do quadrado maior dividido pela raiz quadrada de 2:
Passo 4
Com isso, a área do segundo quadrado será:
Passo 5
Perceba que cada área subsequente é a metade da área anterior. Isso forma uma progressão geométrica onde cada termo é multiplicado por
. A sequência das áreas fica assim:
Passo 6
Para encontrar a soma das áreas de todos os quadrados infinitos, usamos a soma de uma progressão geométrica infinita. A fórmula para a soma
é:
onde
é a razão da progressão. Aqui,
.
Passo 7
Aplicando os valores na fórmula:
Resposta
A soma das áreas dos infinitos quadrados é
.