Sejam uma constante diferente de zero e , funções contínuas com derivada contínua por partes em . Use separação de variáveis para resolver o problema de valores iniciais e de fronteira
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a equação das ondas, que é uma equação diferencial parcial bastante famosa na física e engenharia. O exercício pede para resolver essa equação usando o método da separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, condições de contorno e iniciais, além de como aplicar a separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
utt = c^2 uxx
Aqui, representa a posição da onda em um ponto no tempo , e é a velocidade da onda. As subscritas e indicam derivadas parciais de segunda ordem em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente.
Passo 3
As condições de contorno são:
u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0 para todo t > 0
Isso significa que as extremidades do nosso intervalo estão fixadas, ou seja, a onda é zero nesses pontos para qualquer tempo.
Passo 4
As condições iniciais são:
u(x, 0) = f(x) e ut(x, 0) = g(x) para todo x in [0, L]
Essas condições nos dizem como a onda está no tempo inicial e qual é a sua velocidade inicial.
Passo 5
Vamos aplicar o método da separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de u(x, t) = X(x) T(t) e outra que depende apenas de :
Passo 6
Substituindo X(x) T''(t) = c^2 X''(x) T(t) na equação das ondas:
T''(t)c^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 7
Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + c^2 lambda T(t) = 0
Para :
Passo 8
Aplicando as condições de contorno X(0) = 0 e X(L) = 0 e , temos:
Essas condições nos ajudam a determinar os valores próprios e as soluções correspondentes .
Passo 9
A equação para lambdan = ( npiL )^2 para n = 1, 2, 3, dots com as condições de contorno tem soluções não triviais apenas para valores próprios específicos:
Xn(x) = sin( npi xL )
As funções próprias correspondentes são:
Passo 10
Para cada T''(t) + c^2 lambdan T(t) = 0 , resolvemos a equação para Tn(t) = An cos( npi c tL ) + Bn sin( npi c tL ) :
A solução geral é:
Passo 11
Assim, a solução geral da equação das ondas é a soma das soluções para todos os modos u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos( npi c tL ) + Bn sin( npi c tL ) ] sin( npi xL ) :
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes sumn=1^infty An sin( npi xL ) = f(x) e sumn=1^infty npi cL Bn sin( npi xL ) = g(x) :
:
:
Passo 13
Usando a ortogonalidade das funções seno, calculamos os coeficientes An = 2L integral0^L f(x) sin( npi xL ) dx e Bn = 2npi c integral0^L g(x) sin( npi xL ) dx :
Resposta
Portanto, a solução do problema de valor de fronteira e iniciais é: