Sejam uma constante diferente de zero e , funções contínuas com derivada contínua por partes em . Use separação de variáveis para resolver o problema de valores iniciais e de fronteira
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a equação das ondas, que é uma equação diferencial parcial bastante famosa na física e engenharia. O exercício pede para resolver essa equação usando o método da separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, condições de contorno e iniciais, além de como aplicar a separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui, representa a posição da onda em um ponto no tempo , e é a velocidade da onda. As subscritas e indicam derivadas parciais de segunda ordem em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente.
Passo 3
As condições de contorno são:
Isso significa que as extremidades do nosso intervalo estão fixadas, ou seja, a onda é zero nesses pontos para qualquer tempo.
Passo 4
As condições iniciais são:
Essas condições nos dizem como a onda está no tempo inicial e qual é a sua velocidade inicial.
Passo 5
Vamos aplicar o método da separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Passo 6
Substituindo na equação das ondas:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 7
Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 8
Aplicando as condições de contorno e , temos:
Essas condições nos ajudam a determinar os valores próprios e as soluções correspondentes .
Passo 9
A equação para com as condições de contorno tem soluções não triviais apenas para valores próprios específicos:
As funções próprias correspondentes são:
Passo 10
Para cada , resolvemos a equação para :
A solução geral é:
Passo 11
Assim, a solução geral da equação das ondas é a soma das soluções para todos os modos :
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes e :
:
:
Passo 13
Usando a ortogonalidade das funções seno, calculamos os coeficientes e :
Resposta
Portanto, a solução do problema de valor de fronteira e iniciais é: