Sejam uma constante diferente de zero e , funções contínuas com derivada contínua por partes em . Use separação de variáveis para resolver o problema de valores iniciais e de fronteira

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a equação das ondas, que é uma equação diferencial parcial bastante famosa na física e engenharia. O exercício pede para resolver essa equação usando o método da separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, condições de contorno e iniciais, além de como aplicar a separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui, representa a posição da onda em um ponto no tempo , e é a velocidade da onda. As subscritas e indicam derivadas parciais de segunda ordem em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente.

Passo 3

As condições de contorno são:
Isso significa que as extremidades do nosso intervalo estão fixadas, ou seja, a onda é zero nesses pontos para qualquer tempo.

Passo 4

As condições iniciais são:
Essas condições nos dizem como a onda está no tempo inicial e qual é a sua velocidade inicial.

Passo 5

Vamos aplicar o método da separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :

Passo 6

Substituindo na equação das ondas:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 7

Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 8

Aplicando as condições de contorno e , temos:
Essas condições nos ajudam a determinar os valores próprios e as soluções correspondentes .

Passo 9

A equação para com as condições de contorno tem soluções não triviais apenas para valores próprios específicos:
As funções próprias correspondentes são:

Passo 10

Para cada , resolvemos a equação para :
A solução geral é:

Passo 11

Assim, a solução geral da equação das ondas é a soma das soluções para todos os modos :

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes e :
  1. :
  2. :

Passo 13

Usando a ortogonalidade das funções seno, calculamos os coeficientes e :

Resposta

Portanto, a solução do problema de valor de fronteira e iniciais é:

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