Determine a solução do problema de valor inicial , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial dado por , com . Esse é um tipo de equação diferencial linear de primeira ordem, que a gente resolve usando fatores integrantes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para o formato padrão de uma equação linear:
Aqui, a gente identifica que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ), que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução do problema é:

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Usando a substituição, calcule as integrais.
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Transforme cada equação polar em cartesiana:
(d)
Resolva os problemas de valor inicial.