Determine a solução do problema de valor inicial
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial dado por
, com
. Esse é um tipo de equação diferencial linear de primeira ordem, que a gente resolve usando fatores integrantes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como aplicar essa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para o formato padrão de uma equação linear:
Aqui, a gente identifica que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
), que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução do problema é:
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Usando a substituição, calcule as integrais.
Usando a substituição, calcule as integrais.
Transforme cada equação polar em cartesiana:
(d)
(d)
Resolva os problemas de valor inicial.