Usando a substituição, calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é a integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo uma mudança de variável. Precisamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador
e o numerador
, percebemos que a derivada de
envolve
, que já aparece no numerador. Então, vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para fazer a substituição.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Agora, vamos substituir
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Agora, a integral ficou mais simples e podemos resolvê-la facilmente.
Passo 5
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta para a expressão original:
Então:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
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A velocidade
de um objeto em queda com massa
e coeficiente re resistência do ar
pode ser modelada pela equação
Suponha que
. Determine a velocidade do objeto em cada instante de tempo. Descreva a distância
percorrida pelo corpo passados
segundos. Supondo que o objeto inicia a queda de uma altura de 300 m , obtenha uma aproximação para o tempo que ele levará para atingir o chão e uma apróximação para a velocidade do objeto no momento do impacto.
Determine a solução do problema de valor inicial
, onde
.
Transforme cada equação polar em cartesiana:
(d)
(d)