Usando a substituição, calcule as integrais.
integral cos (4 x)(1+2 sen(4 x))^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é a integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo uma mudança de variável. Precisamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador u = 1 + 2 sin(4x) e o numerador , percebemos que a derivada de envolve , que já aparece no numerador. Então, vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para fazer a substituição.

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = 2 cdot 4 cos(4x) = 8 cos(4x) em relação a cos(4x) dx = du8 :
Isso significa que:
Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral cos(4x)(1 + 2 sin(4x))^4 dx = integral 1u^4 cdot du8 = 18 integral u^-4 du
Agora, a integral ficou mais simples e podemos resolvê-la facilmente.

Passo 5

Integrando 18 integral u^-4 du = 18 cdot ( u^-3-3 ) + C = -124 u^-3 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u = 1 + 2 sin(4x) de volta para a expressão original:
-124 u^-3 + C = -124 (1 + 2 sin(4x))^3 + C
Então:

Resposta

A integral é igual a .

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