Usando a substituição, calcule as integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é a integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo uma mudança de variável. Precisamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador e o numerador , percebemos que a derivada de envolve , que já aparece no numerador. Então, vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para fazer a substituição.

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :
Isso significa que:
Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
Agora, a integral ficou mais simples e podemos resolvê-la facilmente.

Passo 5

Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta para a expressão original:
Então:

Resposta

A integral é igual a .

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Suponha que . Determine a velocidade do objeto em cada instante de tempo. Descreva a distância percorrida pelo corpo passados segundos. Supondo que o objeto inicia a queda de uma altura de 300 m , obtenha uma aproximação para o tempo que ele levará para atingir o chão e uma apróximação para a velocidade do objeto no momento do impacto.
Determine a solução do problema de valor inicial , onde .
Transforme cada equação polar em cartesiana:
(d)