Usando a substituição, calcule as integrais.
integral 4 sen(x)(1+cos (x))^2 d x

Passo 1

Vamos ver o que a gente tem aqui. Precisamos calcular a integral usando substituição. Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador 1 + cos(x), uma boa ideia é definir u = 1 + cos(x). Assim, a gente consegue transformar a integral em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para usar na substituição. Se u = 1 + cos(x), então:

Passo 4

Na nossa integral original, temos . Vamos isolar na expressão de sen(x) dx:

Passo 5

Vamos substituir u e du na integral original:

Passo 6

Agora, vamos integrar u^-2:
-4 integral u^-2 du = -4 ( u^-1-1 ) + C = 4 cdot 1u + C

Resposta

Substituindo u de volta, a solução da integral é:
41 + cos(x) + C
Onde C é a constante de integração.

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