Usando a substituição, calcule as integrais.

Passo 1

Vamos ver o que a gente tem aqui. Precisamos calcular a integral usando substituição. Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador , uma boa ideia é definir . Assim, a gente consegue transformar a integral em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para usar na substituição. Se , então:

Passo 4

Na nossa integral original, temos . Vamos isolar na expressão de :

Passo 5

Vamos substituir e na integral original:

Passo 6

Agora, vamos integrar :

Resposta

Substituindo de volta, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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A velocidade de um objeto em queda com massa e coeficiente re resistência do ar pode ser modelada pela equação
Suponha que . Determine a velocidade do objeto em cada instante de tempo. Descreva a distância percorrida pelo corpo passados segundos. Supondo que o objeto inicia a queda de uma altura de 300 m , obtenha uma aproximação para o tempo que ele levará para atingir o chão e uma apróximação para a velocidade do objeto no momento do impacto.
Usando a substituição, calcule as integrais.
Usando a substituição, calcule as integrais.
Determine a solução do problema de valor inicial , onde .