Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
c)
sobre um objeto que se move sobre o segmento de reta ligando a origem ao ponto
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 2, parte c). A questão pede para descobrir o trabalho realizado por um campo de força dado por
quando um objeto se move de um ponto até outro ao longo de um segmento de reta. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho pode ser calculado usando a integral de linha:
Onde:
-
é o campo de força. -
é o caminho percorrido. -
é um elemento infinitesimal do caminho.
Passo 3
Como o movimento é ao longo de um segmento de reta da origem
até o ponto
, podemos parametrizar o caminho. Vamos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Passo 4
Agora, encontramos a derivada de
em relação a
, que nos dá
:
Passo 5
Substituímos
na expressão do campo de força
:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
para encontrar o trabalho:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Prove que
é uma soluçāo da EDO dada por
.
Exercício 1 Calcule as integrais de linha:
a) s, em que
, com
arco da curva
ligando o ponto
ao ponto
, e
o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
.
a)
Determine a soluçāo do problema de valor inicial dado por