Exercício 1 Calcule as integrais de linha:
a) s, em que , com arco da curva ligando o ponto ao ponto , e o segmento de reta ligando o ponto ao ponto .
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha onde é composto por duas partes: , que é o arco da parábola indo de até , e , que é a reta ligando a . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha, que envolvem parametrizar cada curva e calcular , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral sobre , que é a parábola de a .
Parametrização de :
Podemos usar como parâmetro, já que é definido em termos de :
Calculando :
Expressando a integral:
Solução da integral:
Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Então, a integral fica:
Retornando a :
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral sobre x = 1, y = t, t in [1, 2] , que é a reta vertical de ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz0 + 1 , dt = dt a integralC2 2x , ds = integral1^2 2 cdot 1 cdot dt = 2 integral1^2 dt = 2(2 - 1) = 2 .
Parametrização de :
Aqui, é constante e varia de 1 a 2. Podemos usar:
Calculando :
Como é constante, temos:
Expressando a integral:
Passo 4
Finalmente, somamos as integrais das duas partes integralC 2x , ds = integralC1 2x , ds + integralC2 2x , ds = 16 (5raiz5 - 1) + 2 e :