Determine a solução do Problema de Valor Inicial y' = 2y - y^2 ; y(0) = 1
Escolha uma opção:
y(t) = e^t / (e^t + (1 - e^t)) = 1
y(t) = 2 * e^(2t) / (1 + e^(2t))
O Nenhuma das demais alternativas
y(t) = (1/2) * e^(-t) * (cos(t) + sen(t) + e^(t))
y(t) = (1/2) e^t (1 + e^(-t))
y(t) = t^2 + 1

Passo 1

Estamos lidando com um problema de valor inicial onde precisamos encontrar a solução da equação diferencial com a condição inicial . Para resolver isso, vamos utilizar métodos de equações diferenciais de primeira ordem e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que possamos separar as variáveis e :
Podemos fatorar o lado direito da equação:
Agora, separamos as variáveis e :

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação. Para integrar o lado esquerdo, usaremos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
Então, a decomposição fica:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 4

Vamos resolver para . Primeiro, combinamos os logaritmos:
Multiplicamos ambos os lados por 2:
Onde . Exponenciando ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Multiplicando ambos os lados por :
Substituindo na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Isso corresponde à segunda opção apresentada.

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