Determine a solução do problema de valor inicial.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado:
, com a condição
. Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO de primeira ordem. Para resolvê-lo, precisamos isolar
e encontrar uma função
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação. A equação dada é:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a expressão:
Passo 3
Agora, temos uma equação que pode ser escrita como:
Reconhecemos que o lado esquerdo
é a derivada de
em relação a
. Portanto, podemos reescrever a equação como:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes, onde
e
. Assim,
e
.
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Portanto, a integral se torna:
Simplificando:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial
onde
está em miligramas e
em anos.
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.