Determine a solução do problema de valor inicial.
t + y e^(-t) y' = 0, y(0) = 1

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado: , com a condição . Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO de primeira ordem. Para resolvê-lo, precisamos isolar e encontrar uma função que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação. A equação dada é:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando a expressão:

Passo 3

Agora, temos uma equação que pode ser escrita como:
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de em relação a . Portanto, podemos reescrever a equação como:

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, onde e . Assim, e .

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
Portanto, a integral se torna:
Simplificando:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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