Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é para . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método vai nos ajudar a encontrar uma solução geral para a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação diferencial. Temos , onde e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a resolução.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante ( ), usamos a fórmula:
Substituindo :
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Isso acontece porque , que é exatamente o lado esquerdo da nossa equação.

Passo 6

Integrando ambos os lados da equação para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
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