Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
para
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método vai nos ajudar a encontrar uma solução geral para a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação diferencial. Temos
, onde
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a resolução.
Passo 3
Para encontrar o fator integrante (
), usamos a fórmula:
Substituindo
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Isso acontece porque
, que é exatamente o lado esquerdo da nossa equação.
Passo 6
Integrando ambos os lados da equação para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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