O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial
onde está em miligramas e em anos.
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de decaimento radioativo do plutônio-241. A equação que descreve esse decaimento é uma equação diferencial:
Aqui, representa a quantidade de plutônio em miligramas e o tempo em anos. Nosso objetivo é descobrir quanto plutônio vai sobrar depois de 10 anos, começando com 50 mg hoje. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma geral da solução de uma equação diferencial simples como essa. A equação dada é:
Onde . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e sua solução geral é:
Aqui, é a quantidade inicial de plutônio, que nesse caso é 50 mg.

Passo 3

Agora, vamos aplicar os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
  • mg
  • anos
Substituindo esses valores na equação:

Passo 4

Vamos calcular o expoente primeiro:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Usando uma calculadora:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos por 50 mg:

Resposta

Após 10 anos, restarão aproximadamente 29,55 mg de plutônio-241.

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