O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial
onde
está em miligramas e
em anos.
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de decaimento radioativo do plutônio-241. A equação que descreve esse decaimento é uma equação diferencial:
Aqui,
representa a quantidade de plutônio em miligramas e
o tempo em anos. Nosso objetivo é descobrir quanto plutônio vai sobrar depois de 10 anos, começando com 50 mg hoje. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais de decaimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral da solução de uma equação diferencial simples como essa. A equação dada é:
Onde
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e sua solução geral é:
Aqui,
é a quantidade inicial de plutônio, que nesse caso é 50 mg.
Passo 3
Agora, vamos aplicar os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
-
mg -
-
anos
Substituindo esses valores na equação:
Passo 4
Vamos calcular o expoente primeiro:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Usando uma calculadora:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos por 50 mg:
Resposta
Após 10 anos, restarão aproximadamente 29,55 mg de plutônio-241.
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Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
Determine a solução do problema de valor inicial.