Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Então, temos o enunciado que nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Vamos resolver essa equação usando o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para isso, vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
O próximo passo é calcular o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial
onde
está em miligramas e
em anos.
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?
Se 50 mg de plutônio 241 estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá daqui a 10 anos?
Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Determine a solução do problema de valor inicial.
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.